单样本均值差异性检验¶
对于双侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu_1 = \mu_0 \\
H_1 &: \mu_1 \neq \mu_0
\end{align}
\]
对于左单侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu_1 \geqslant \mu_0 \\
H_1 &: \mu_1 \lt \mu_0
\end{align}
\]
对于右单侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu_1 \leqslant \mu_0 \\
H_1 &: \mu_1 \gt \mu_0
\end{align}
\]
样本均值用 \(\hat{\mu}_1\) 表示，样本方差用 \(S\) 表示。
以下推导过程在边界条件 \(\mu_1 = \mu_0\) 下进行。
Z 检验¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 已知时，可使用 \(Z\) 检验进行推导。
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(Z\) 统计量：
\[
Z = \frac{\hat{\mu}_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(Z'\) 统计量：
\[
Z' = \frac{\hat{\mu}_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N\left(\frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}, 1\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(Z' > z_{1-\alpha}\right) + P\left(Z' < z_{\alpha}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
+ \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(Z' < z_{\alpha}\right)
= \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} + \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(Z' > z_{1-\alpha}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
对于单侧检验，可利用功效函数得到样本量的闭式解：
根据标准正态分布分位数的定义：
\[
z_{1-\alpha} \pm \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = z_\beta
\]
由上式可解出
\[
n = \frac{\left(z_{1-\alpha} + z_{1-\beta}\right)^2 \sigma^2}{\left(\mu_1 - \mu_0\right)^2}
\]
t 检验¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 未知时，可使用 \(t\) 检验进行推导。
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(T\) 统计量：
\[
T = \frac{\hat{\mu}_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(T'\) 统计量：
\[
T' = \frac{\hat{\mu}_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t\left(n - 1, \frac{\mu_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\right)
\]
令 \(F(x;v,\lambda)\) 为自由度为 \(v\)、非中心参数为 \(\lambda\) 的非中心 \(t\) 分布的累积分布函数。
\[
\begin{align}
\text{Power}
& = P\left(T' > t_{1-\alpha}\right) + P\left(T' < t_{\alpha}\right) \\
& = 1 - F\left(t_{1-\alpha, n - 1}; n - 1, \frac{\mu_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\right)
+ F\left(t_{\alpha, n - 1}; n - 1, \frac{\mu_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\right)
\end{align}
\]
\[
\text{Power}
= P\left(T' < t_{\alpha}\right)
= F\left(t_{\alpha, n - 1}; n - 1, \frac{\mu_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(T' > t_{1-\alpha}\right)
= 1 - F\left(t_{1-\alpha, n - 1}; n - 1, \frac{\mu_1 - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\right)
\]