单样本均值置信区间¶
正态分布¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 已知时，可使用正态分布构建置信区间。
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(\bar{X}-\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{\sqrt{n}}, \ \bar{X}+\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{\sqrt{n}}\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{\sqrt{n}}
\]
\[
n = \frac{z_{1-\alpha/2}^2\sigma^2}{d^2}
\]
\[
\sigma = \frac{d\sqrt{n}}{z_{1-\alpha/2}}
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(-\infty, \ \bar{X}+\frac{z_{1-\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{z_{1-\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}
\]
\[
n = \frac{z_{1-\alpha}^2\sigma^2}{d^2}
\]
\[
\sigma = \frac{d\sqrt{n}}{z_{1-\alpha}}
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(\bar{X}-\frac{z_{1-\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}, \ +\infty\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{z_{1-\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}
\]
\[
n = \frac{z_{1-\alpha}^2\sigma^2}{d^2}
\]
\[
\sigma = \frac{d\sqrt{n}}{z_{1-\alpha}}
\]
若已知标准差 \(\sigma = 1\) 时，均值到置信限的距离为 \(d\)，则当均值到置信限的距离为 \(d'\) 时，标准差 \(\sigma' = d'/d\)，
利用此关系可以简化 solve_std 函数的实现，而不必使用 brentq 进行反解。
t 分布¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 未知时，可使用 \(t\) 分布构建置信区间。
\[
T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(\bar{X}-\frac{t_{1-\alpha/2,\ n-1}S}{\sqrt{n}}, \ \bar{X}+\frac{t_{1-\alpha/2,\ n-1}S}{\sqrt{n}}\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{t_{1-\alpha/2, \ n-1}S}{\sqrt{n}}
\]
\[
S = \frac{d\sqrt{n}}{t_{1-\alpha/2, \ n-1}}
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(-\infty, \ \bar{X}+\frac{t_{1-\alpha,\ n-1}S}{\sqrt{n}}\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{t_{1-\alpha, \ n-1}S}{\sqrt{n}}
\]
\[
S = \frac{d\sqrt{n}}{t_{1-\alpha, \ n-1}}
\]
\[
\text{Confidence Interval} = \left(\bar{X}-\frac{t_{1-\alpha,\ n-1}S}{\sqrt{n}}, \ +\infty\right)
\]
设均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = \frac{t_{1-\alpha, \ n-1}S}{\sqrt{n}}
\]
\[
S = \frac{d\sqrt{n}}{t_{1-\alpha, \ n-1}}
\]
若已知标准差 \(S = 1\) 时，均值到置信限的距离为 \(d\)，则当均值到置信限的距离为 \(d'\) 时，标准差 \(S' = d'/d\)，
利用此关系可以简化 solve_std 函数的实现，而不必使用 brentq 进行反解。