两独立样本均值非劣效检验¶
对于高优指标（\(\delta < 0\)），统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu_1 - \mu_2 \le \delta \\
H_1 &: \mu_1 - \mu_2 \gt \delta
\end{align}
\]
对于低优指标（\(\delta > 0\)），统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu_1 - \mu_2 \ge \delta \\
H_1 &: \mu_1 - \mu_2 \lt \delta
\end{align}
\]
\(\delta\) 为非劣效界值，两样本均值分别用 \(\hat{\mu}_1\) 和 \(\hat{\mu}_2\) 表示，两样本方差分别用 \(S_1\) 和 \(S_2\) 表示。
\[
E(\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2) = \mu_1 - \mu_2, \ \ Var(\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2) = \frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}
\]
以下推导过程在边界条件 \(\mu_1 - \mu_2 = \delta\) 下进行。
Z 检验¶
大样本时，可使用 \(Z\) 检验进行推导。
方差相等¶
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(Z\) 统计量：
\[
Z = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(Z'\) 统计量：
\[
Z' = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim N\left(\frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}, 1\right)
\]
\[
Power = P\left(Z' > z_{1-\alpha}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
\[
Power = P\left(Z' < z_{\alpha}\right)
= \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} + \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
在 \(H_1\) 成立时：
若 \(\delta < 0\)，则 \(\mu_1 - \mu_2 - \delta > 0\)；
若 \(\delta > 0\)，则 \(\mu_1 - \mu_2 - \delta < 0\)。
\[
Power = 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\left|\mu_1 - \mu_2 - \delta\right|}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
样本量公式推导
根据标准正态分布分位数的定义：
\[
z_{1-\alpha} - \frac{\left|\mu_1 - \mu_2 - \delta\right|}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = z_\beta
\]
设 \(n_1 = kn_2\)，由上式可解出
\[
n_2 = \frac{\left(z_{1-\alpha} + z_{1-\beta}\right)^2 \sigma^2 \left(\frac{1}{k} + 1\right)}{\left(\mu_1 - \mu_2 - \delta\right)^2}
\]
\[
n_1 = k n_2
\]
方差不相等¶
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(Z\) 统计量：
\[
Z = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(Z'\) 统计量：
\[
Z' = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N\left(\frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}, 1\right)
\]
\[
Power = P\left(Z' > z_{1-\alpha}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right)
\]
\[
Power = P\left(Z' < z_{\alpha}\right)
= \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} + \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right)
\]
在 \(H_1\) 成立时：
若 \(\delta < 0\)，则 \(\mu_1 - \mu_2 - \delta > 0\)；
若 \(\delta > 0\)，则 \(\mu_1 - \mu_2 - \delta < 0\)。
\[
Power = 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\left|\mu_1 - \mu_2 - \delta\right|}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right)
\]
样本量公式推导
根据标准正态分布分位数的定义：
\[
z_{1-\alpha} - \frac{\left|\mu_1 - \mu_2 - \delta\right|}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} = z_\beta
\]
设 \(n_1 = kn_2\)，由上式可解出
\[
n_2 = \frac{\left(z_{1-\alpha} + z_{1-\beta}\right)^2 \left(\frac{\sigma_1^2}{k} + \sigma_2^2\right)}{\left(\mu_1 - \mu_2 - \delta\right)^2}
\]
\[
n_1 = k n_2
\]
t 检验¶
小样本时，可使用 \(t\) 检验进行推导。
方差相等¶
当两总体方差相等时，即 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) 时，可将样本方差合并，计算合并方差 \(S_c^2\)：
\[
S_c^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
\]
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(T\) 统计量：
\[
T = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{S_c\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(T'\) 统计量：
\[
T' = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{S_c\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}
\sim t\left(n_1 + n_2 - 2, \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{S_c\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
令 \(F(x;v,\lambda)\) 为自由度为 \(v\)、非中心参数为 \(\lambda\) 的非中心 \(t\) 分布的累积分布函数。
\[
Power = P\left(T' > t_{1-\alpha}\right) = 1 - F\left(t_{1-\alpha, n_1 + n_2 - 2}; n_1 + n_2 - 2, \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{S_c\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
\[
Power = P\left(T' < t_{\alpha}\right) = F\left(t_{\alpha, n_1 + n_2 - 2}; n_1 + n_2 - 2, \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{S_c\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\right)
\]
方差不相等¶
当两总体方差不相等时，即 \(\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\) 时，可使用以下近似 \(t\) 检验进行推导。
Welch 近似 t 检验¶
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(T\) 统计量：
\[
T = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t(v')
\]
其中：
\[
v' = \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{S_1^4}{n_1^2(n_1 + 1)} + \frac{S_2^4}{n_2^2(n_2 + 1)}} - 2
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(T'\) 统计量：
\[
T' = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}
\sim t\left(v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]
令 \(F(x;v,\lambda)\) 为自由度为 \(v\)、非中心参数为 \(\lambda\) 的非中心 \(t\) 分布的累积分布函数。
\[
Power = P\left(T' > t_{1-\alpha}\right) = 1 - F\left(t_{1-\alpha, v'}; v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]
\[
Power = P\left(T' < t_{\alpha}\right) = F\left(t_{\alpha, v'}; v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]
Satterthwaite 近似 t 检验¶
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(T\) 统计量：
\[
T = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t(v')
\]
其中：
\[
v' = \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{S_1^4}{n_1^2(n_1 - 1)} + \frac{S_2^4}{n_2^2(n_2 - 1)}}
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(T'\) 统计量：
\[
T' = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}
\sim t\left(v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]
令 \(F(x;v,\lambda)\) 为自由度为 \(v\)、非中心参数为 \(\lambda\) 的非中心 \(t\) 分布的累积分布函数。
\[
Power = P\left(T' > t_{1-\alpha}\right) = 1 - F\left(t_{1-\alpha, v'}; v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]
\[
Power = P\left(T' < t_{\alpha}\right) = F\left(t_{\alpha, v'}; v', \frac{\mu_1 - \mu_2 - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\right)
\]